본문 바로가기

Math/Linear algebra

 (14)
[인프런|2.6] Matrix Algebra | Subspaces of Rn 2.6 Subspaces of Rn Subspace of Rn Any set H in R^n that has three properties: a. The zero vector is in H b. For each u and v in H, the sum u + v is in H c. For each u in H and scalar c, the vector cu is in H 어떤 집합 H가 R^n 공간에 있을 때 3가지 조건을 만족한다. a. zero vector가 H에 있다 b. u, v vector가 H에 있으며 둘의 합 u+v 또한 H 안에 있다. c. u는 H에 있고 cu 또한 H에 있다. closed under addition and scalar multiplication subspace 성질은 덧..
[인프런|2.5] Matrix Algebra | Matrix Factorization 2.5 Matrix Factorization - Factorization(인수분해) a product of two or more matrices 하나의 matrix를 2개 이상의 matrix를 표현하는 것을 Factorization이라고 한다. LU Factorization L: unit lower triangular matrix(하삼각행렬) U: echelon form 아래 예시에서는 A를 LU Factorization을 만들기 위해 row interchange, scaling 없이 row replacement 연산만을 통해 L(unit lower triangular maxtrix)을 만든다. A,b,L,U 가 주어져있을때의 연산이다. 1. A= LU A matrix를 LU형태로 만들고자 한다. U는 ..
[인프런|2.4] Matrix Algebra | Partitioned Matrices 2.4 Partitioned Matrices Partitioned matrix matrix를 block으로 나눈 것을 partitioned matrix라고 한다. A21 =0 -5 1 부분이다. Partitioned matrix 간의 합이나 scalar 곱이나 일반 matrix에서의 성질과 동일하다. Multiplication of partitioned matrices A 열을 나눈 비율과 B 행을 나눈 비율이 같아야 한다! 여기서는 A열은 3개, 2개로 나눔 B 행도 마찬가지로 3개, 2개로 나눔 나눈 block끼리 matrix 곱 연산을 수행한다. A, B를 partitioned matrix로 만들어서 곱한것과 A,B로 그대로 곱한것과 결과는 같다, 그러한 경우 A,B partion을 block mu..
[인프런|2.3] Matrix Algebra | Characterizations of Invertible Matrices 2.3 Characterizations of Invertible Matrices The invertible matrix Theorem Theorem 8. Let A be a square n x n matrix. Then the following statements are equivalent. n x n matrix 즉 정사각행렬일 때 a. ~ I. 의 상태들은 equivalent(같은 해집합을 가짐) 하다 a. ~ I. 중 1개라도 참이라면 모두 참 1개라도 거짓이면 모두 거짓이다. a. A is an invertible matrix b. CA =I invertible 이니까 역행렬 x 원본행렬 => 단위행렬 I c. The equation Ax =0 have only the trivial solutio..
[인프런|2.2] Matrix Algebra | The inverse of a Matrix 2.2 The inverse of a Matrix Invertible matrix An n x n matrix A is said to be invertible if there is an n x n matrix C such that CA = I and AC = I B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C B를 A의 inverse라고 가정. BA => A^(-1)A = I n x n행렬 C,A의 곱 AC,CA의 결과가 I(단위행렬)일때 A의 역행렬이 존재하며 그 역행렬은 유일하다. A^(-1)A = I and AA^(-1) = I a nonsingular matrix: invertible a singular matrix: not invertible 역행렬이 존재하면 nonsingualar m..
[인프런|2.1] Matrix Algebra | Matrix Operations 2.1 Matrix Operations Maxtrix Sum 같은 크기의 matrix끼리의 합 A+B Scalar Multiple scalar와 vector의 배 - Theorem1 Let A, B and C be matrices if the same size, and let r and s be scalars. a. A + B = B + A b. (A + B) + C = A + (B + C) c. A + 0 = A d. r(A + B) = rA + rB e. (r + s)A = rA + sA f. r(sA) = (rs)A 행렬 합의 교환법칙, 결합법칙 성립 행렬과 스칼라의 연산에서 합의 분배법칙, 곱의 결합법칙이 성립한다. - Matrix multiplication A(Bx) = (AB)x If A is..
[인프런|1.8] Linear Equations in Linear Algebra | The Matrix of a Linear Transformation 1.8 The Matrix of a Linear Transformation - Standard matrix - Therem8 Let T: R^n -> R^m be a linear transformation. Then there exists a unique matrix A such that T(x) = Ax for all x in R^n In fact, A is the m x n matrix whose j-th column is the vector T(ej), where ej is the j-th column of the identity maxtirx in R^n: A= [T(e1) ... T(en)] x= lnx = [e1 ... en]x = x1e1 + ... + xnen T(x) = Bx linear..
[인프런|1.7] Linear Equations in Linear Algebra | Introdution to Linear Transformation 1.7 Introdution to Linear Transformation 4차원인 x, u vector를 A와의 곱을 통해 b, 0 로 보내는 것으로 볼 수 있다. - Transformation A trasformation (or function or mapping) T from R^n to R^m is a rule that assigns to each vector x in R^n a vector T(x) in R^m trasnformation T는 R^n의 벡터 x 를 R^m 으로 보낼때 T(X) 라고 한다. - Matrix transformation x -> Ax x 벡터를 matrix transfomation의 이미지는 Ax 이다. T: R^n -> R^m R^n domain(정의역)에서 R^m c..
[인프런|1.6] Linear Equations in Linear Algebra | Linear Equations in Linear Algebra 1.6 Linear Equations in Linear Algebra - linearly dependent / independent The set {v1, ... , v2} in R^n is said to be linearly dependent if there exist weights c1, ... , cp, not all zero, c1v1+...+cpvp = 0 => Ax = 0 homegeneous system 1개라도 non zero 이면 consistant이고 즉, homegeneous system이다 그러면서 free variable이 있는 경우 이므로 dependent이다 ex1) v1=[[1], [2], [3]], v2=[[4], [5], [6]], v3=[[2], [1], [0]] 2번째..
[인프런|1.5] Linear Equations in Linear Algebra | Solution Sets of Linear Systems 1.5 Solution Sets of Linear Systems - homogeneous system, trivial soluton, nontrvial solution Ax = 0 is homogeneous system homogeneous equation(동차 방정식) 일려면 Ax =0 이어야 한다. 상수항이 0이어야 한다. trivial solution은 x=0을 의미 Ax=0 이니까 당연히 x=0인 해가 존재 그래서 자명한 해라고 한다. nontrivial solution x= infinite 무수히 많은 해를 뜻하며 free variable이 있음을 말한다. Theorem2에서 해가 존재하는 경우 유일해를 가지거나 무수히 많은 해를 가진다고 하였는데 무수히 많은 해를 가지는 경우에 해당하며 그 경..

티스토리툴바