2.2 The inverse of a Matrix
- Invertible matrix
An n x n matrix A is said to be invertible if there is an
n x n matrix C such that
CA = I and AC = I
B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C
B를 A의 inverse라고 가정.
BA => A^(-1)A = I
n x n행렬 C,A의 곱 AC,CA의 결과가 I(단위행렬)일때
A의 역행렬이 존재하며 그 역행렬은 유일하다.
A^(-1)A = I and AA^(-1) = I
a nonsingular matrix: invertible
a singular matrix: not invertible
역행렬이 존재하면 nonsingualar matrix
역행렬이 없으면 singular matrix
- Theorem4
Let A [[a, b], [c, d]] if ad - bd != 0,
then A is invertible and
A^(-1) = 1/(ad-bc) [[d, -b], [-c, a]]
det A = ad -bd
2 x 2 matrix에서의 inverse matrix를 구하는 방법
A^(-1) = 1/(ad-bc) * [[d, -b], [-c, a]]
분모가 0이 되면 수학에서 성립하지 않으므로
ad-bc를 invertible matrix(역행렬) 판별식이라 한다.
- Theorem 5
Let A is an invertible n x n matrix, then for each b in R^n.
the equation Ax =b has the unique solution x = A^(-1)b
어떤 matrix의 역행렬이 invertible(역행렬이 존재)하다면
그 invertible matrix는 유일하다.
- Theorem 6
If a is an invertible matirx, then A^(-1) is invertible and
(A^(-1))^(-1) = A
if A nad B are n xn invertible matrices, then so is AB, and
the inverse of AB is the product of the inverses of A and B in the reverse order.
That is
matrix AB의 inverse는 B inverse 곱하기 A inverse이다.
If A is an invertible matrix, then so is A^T, and the inverse of A^T is the transpose of A-1.
That is,
어떤 matrix A의 transpose의 inverse은 A의 inverse의 transpose이다.
- Elementary matrices
An elementary matrix is one that is obtained by performing a single elementary row operation
on an identity matrix
elementary matrix(기본행렬): 기본 행렬(elementary matrix, En)은 nxn 크기의 단위행렬(In)에서 기본행연산(elementary row operation)을 한 번 실행하여 얻어지는 행렬
If an elementary row operation is performed on an m x n matrix A,
the resulting matrix can be written as EA,
where the m x n matrix E is created by performing the same row operation on I m
Each elementary matrix E is invertible. The inverse of E is the elementrary matrix of the same type
that transforms E back into I.
만약 matrix A에 elementary row opearation을 하면 결과를 EA로 쓸 수 있다.
각 elementary matrix E는 invertible하다.
어떤 matrix A에 A invertible을 곱하면 Idenetity matrix가 나온다.
A * A^(-1) = I
- Theorem 7
An n x n matrix A is invertible if and only if A is row equivalent to I_n, and in this case,
any sequnce of elementary row operations that reduces A to I n also transforms I n into A^(-1)
n x n matrix A가 invertible하고 단위행렬 I_n과 row equivalent(같은 해집합을 가짐)하다면
모든 과정의 elementary row operation은 A를 reduces를 통해 단위행렬로 변환하면( 단위 행렬 I_n도 같은 elementary row operation을 한다) 변환된 단위행렬 I_n이 A의 inverse가 된다.
- Algorithm for finding A^(-1)
[A I]
~[I C]
=> C = A^(-1)
Theorem 7을 이용해서 A와 단위행렬 I_n를 붙여 놓은 상태에서
A를 단위행렬로 만드는 elementary row operation(기본행연산)을 하면 (마찬가지로 단위행렬I_n에도 같은 기본행연산을 한다)
A가 I가 되었을 때
기존에 A옆에서 같은 기본행연산을 했던 I_n는 A^(-1)이 된다.
