[인프런|2.3] Matrix Algebra | Characterizations of Invertible Matrices

2.3 Characterizations of Invertible Matrices

 

 

 

• The invertible matrix Theorem

Theorem 8.

Let A be a square n x n matrix. Then the following statements are equivalent.

 

n x n matrix 즉 정사각행렬일 때

a. ~ I. 의 상태들은 equivalent(같은 해집합을 가짐) 하다

a. ~ I. 중 1개라도 참이라면 모두 참

1개라도 거짓이면 모두 거짓이다.

 

a. A is an invertible matrix

b. CA =I  

invertible 이니까 역행렬 x 원본행렬 => 단위행렬 I

c. The equation Ax =0 have only the trivial solution

 

Ax=0  자체는 homegeneous 라서 consistant 즉, 해를 가짐

무수히 많거나 유일한 해

여기서 유일한 해를 가진다고 가정하였는데 

이 조건이 맞다면 나머지 다른 조건도 참이라는 이야기

여기서 Ax=0 , only trivial solution은 가정!

d. A has n pivot positions

trivial solution을 가지므로 상수항에 pivot position이 없다.

그러므로 미지수항들에만 pivot position들이 있다.

e. A is row equivalent to the indentity n x n matrix

Invertible하므로 단위행렬에 row equivalent하다.

f. There is an n x n matrix D such that AD = I

D가 A의 invertible이어야 성립 

a.에서 invertible을 이야기 했으니 성립한다,

g.  The equation Ax =b has at least one solution for each b in R^n

표현은 최소한 하나라고 했지만 유일한 해라고 볼수 있다, 지난 강의 Theorem5 참조

h. The columns of A span R^n

g.와 동치이다.

i. The linear transformation x -> Ax maps R^n onto R^n

R^n -> R^n

j. The columns of A form a linearly independet set

c.와 동치이다

k. The linear transformation x-> Ax is one-to-one

정사각행렬에 n pivot position을 가지기에 성립

I. A^T is an invertible matrix

a. 역행렬이 있으면 전치행렬의 역행렬도 있음과 동치

 

 

• Invertible linear transformation

S라는 mapping이 존재할떄 invertible

x의 이미지 S에 대해 이미지를 취하면 다시 원래 x로 돌아간다.

S의 이미지 x에 대해 이미지를 취하면 다시 원래 S로 돌아간다.

 

linear transformation이면 standard matrix가 존재

A의 transformation이 invertible하면 

A도 invertible하다.

A의 전치행렬이 역행렬을 가지면 A도 역행렬을 가진다.