1.6 Linear Equations in Linear Algebra
- linearly dependent / independent
The set {v1, ... , v2} in R^n
is said to be linearly dependent
if there exist weights c1, ... , cp, not all zero,
c1v1+...+cpvp = 0 => Ax = 0
homegeneous system
1개라도 non zero 이면 consistant이고 즉, homegeneous system이다
그러면서 free variable이 있는 경우 이므로 dependent이다
ex1) v1=[[1], [2], [3]], v2=[[4], [5], [6]], v3=[[2], [1], [0]]
2번째 과정에서 3번째 미지수가 free variable임이 확인 되었다.
그러므로 linearly dependent이다.
independent일려면
vector equation
x1v1 + ... + xpvp = 0
has only the trivial solution이어야한다.
Ax= 0
모든 미지수가 0이다.
그러므로 trivial solution이다.
- linear depnedency of matrix columns
The columns of a matrix A are linearly inpendent
if and only if the equaitions Ax = 0
has only the trivial solution.
만약 matrix A가 linearly independent 하다면
Ax = 0 은 trivial solution을 가진다.
이 두 가지 조건은 서로 필요충분조건이다.
- Sets Of One Vector / Two Vectors
Sets of One Vector
if a set contains only one vector, v,
then the set is linearly independent
only when v != 0
# if v=0, x1*v1 = x1*0 =0
Sets of Two Vectors
A set {v1, v2} linearly dependent
if at least one of the vectors is a multiple of the other
v1= cv2 -v1 +cv2 = 0
The set is linearly independent, if and only if
neither of the vectors is a multiple of the other
한 백터가 다른 백터의 곱으로 표현되면 dependent
다른 벡터의 곱으로 표현되지 않으면 independent
왼쪽은 v2가 v1의 곱으로 표현됨
- Theorem7-9
Theorem7
An indexed set S = {v1, ... , vp} of two or more vectors is linearly dependent
if and only if at least one of the vectors in S in a linear combination of the others.
c1v1 +c2v2+ ... + cpvp = 0
v1 = (-c2/c1)v2 + ... + (-cp/c1)vp
벡터 하나가 다른 벡터의 결합으로 표현되면 dependent이다.
v1= c2v2 + ... +cpvp
-v1 + c2v2 + ... +cpvp = 0
c2v2 + ... +cpvp = 0이더라도
v1 0이 아니면 linearly dependent
상수항을 제외하고 백터들끼리만 가지고의 표현이므로
-v1이 0이 아닌것이 당연하다.
만약 0이되면 linearly independent
In fact, if S is linearly dependent and v1 != 0,
then some vj (with j>1) is a linear combination of the preceding vectors, v1, ..., vj-1
c1v1 + ... + cpvp = 0
j: the largest subscript for which cj != 0
c1v1+...+cjvj + cj+1vj+1 + ... +cpvp= 0
j=1, c1v1 =0, v1=0
{u, v, w} in R^3
with u and v linearly independent
w is in Span {u, v}
if and only if the set {u, v, w} is linearly dependent.
w = cu + dv, -w + cu + dv = 0
u != 0, u != cv
Theorem8
if a set contains more vectors than there are entries in each vector,
then the set in linearly dependent
n x p , p>n
more be a free variable
Ax = 0 has a nontrivial solution
식보다 미지수가 많으면 free variable이 발생하므로
nontrivial solution일 수 밖에 없다.
Theorem9
If a set contains the zero vector,
then thr set is linearly dependent
1v1 + 0v2 + ... + 0vp = 0
집합 안에 0 벡터가 있다면 그 집합은 linearly dependent하다
