1.4 The Matrix Equations Ax=b
- Matrix equation
the linear combination of the columns of A using the corresponding entries in X as weights
1.matrix equation
2. vector들의 합으로 matrix equation을 표현할 수 있다.
x1v1 + x2v2 + x3v3 = [v1 v2 v3][ [x1], [x2], [x3] ]
// x는 백터 뒤에 있어야 한다. 앞에 있으면 다른 식이다.
3.linear equation을 matrix equation으로 표현할 수 있다.
x + 2y -z =4
-5y+3z =1
x[[1],[2]]+x[[2],[-5]]+z[[-1],[3]]=[[4],[1]]
=[[1,2,-1], [0,-5,3]][ [x],[y],[z] ] = [[4], [1]]
- Theorem3.
A is m x n matrix, with colums a1,..., an
b is in R^m
matrix equaion: Ax=b
vector equation: x1ax + x2a2 + ... + xnan =b
augmented matrix [a1 a2 ... an b]
A가 m x n matrix이고 b가 R^m space에 있을 때
matrix equation, vector equation, augmented matrx 등 3가지로 표현할 수 있다.
표현만 다를 뿐이므로 위 3가지는 같은 solution set을 지닌다.
- Theorem4.
A is m x n matrix, with columns a1,..., an
The followings are all true or all false;
a. For each b in R^m. Ax=b has a solution.
b. Each b in R^m is a linear combination of the columns of A.
c. The columns of A span R^m.
d. A has a pivot position in every row.
// there are no b's pivot position
// A is not augmented matrix [A b]
A matrix는 coefficient matrix이다.
a. b가 R^n space에 있으면 Ax=b는 유일한 해를 가진다.
b. R^n space의 b vector는 A matrix의 columns의 linear combination이다.
c. a, b가 c로도 표현이 된다. A matrix의 column이 R^m space를 span 한다.
d. A matrix의 모든 행에 pivot position을 가진다.
A matrix가 coefficient matrix이므로 b에는 pivot position이 없으므로 consistant 하다.
위 4가지 조건은 1개라도 true이면 all true이고
반대로 1개라도 false이면 all false이다.
- Theorem5.
If A is an m x n matrix, u and v are vectors in R^n, and c is a scalar, then;
- A(u + v) = Au +Av;
- A(cu) = c(Au)
- Matrix와 vector 사이에는 합의 분배 법칙이 성립한다.
- scalar와 matrix, vector에 대해서 곱의 결합 법칙이 성립한다.
