1.2 Row Reduction and Echelon Forms
- echelon form / reduced echelon form
echelon form:
1. all zero rows들은 모두 non zero rows들보다 아래에 있다. all zero row들은 맨 밑에 있다.
2. leading entry는 위에 row의 leading entry보다 오른쪽에 있다.
*leading entry란 한 row에서 0이 아닌 entry 중 가장 앞에 있는 entry이다.
reduced echelon form: 우선 echelon form 이어야한다.
3. row에서 leading entry의 값은 1이다.
4. leading entry가 있는 column에서 leading entry의 값은 1이고 그 외에 entry는 모두 0이다.
*leading entry는 pivot position이다
- Theorem1: uniqueness of the reduced echelon form
reduced echelon form은 해당 linear system(같은 solution set을 가지는)에서 유일하다.
- row reduction alogorithm: forward and backward phase
foward phase: reduced echelon form 3번 조건에 따라 row에서 leading entry 값을 row operation을 통해 1로 만든다.
backward phase: reduced echelon form 4번 조건에 따라 row operation을 통해 leading entry가 있는 column에서 leading entry값만 1로 만들고 나머지 entry의 값은 0으로 만든다.
- solution of linear systems: genaral solution with free variables
reduced echelon form을 한 뒤에 leading entry의 variable은 basic variable로 한다. 그 뒤에 있는 coefficient 중 0이 아닌 variable은 free variable에 해당한다.
general soultion이란
basic variables 혹은 free variables까지 더한 soultion을 의미한다.
variables의 해집합
- Theorem2: Existence and Uniqueness Theorem
linear system이 consistent하다면 reduced echelon form에서 맨 오른쪽 column(상수항 column)중에 pivot position(leading entry)인 것이 없어야한다. 만약 맨 오른쪽 column에 pivot position이 있는 경우가 있다면 incosistant.
linear system이 consistent한 경우 중 유일한 1개의 해를 가진다면 free variable이 없다.
free variable이 있다면 해가 무수히 많다.
말그대로 free variable이기에 어떤 값이든 넣어서 표현할 수 있으므로 해가 무한 해질 수 밖에 없다.
