[인프런|2.6] Matrix Algebra | Subspaces of Rn

2.6 Subspaces of Rn

 

 

• Subspace of Rn

Any set H in R^n that has three properties:

a. The zero vector is in H

b. For each u and v in H, the sum u + v is in H

c. For each u in H and scalar c, the vector cu is in H

 

어떤 집합 H가 R^n  공간에 있을 때 3가지 조건을 만족한다.

a. zero vector가 H에 있다

b. u, v vector가 H에 있으며 둘의 합 u+v 또한 H 안에 있다.

c. u는 H에 있고 cu 또한 H에 있다.

 

closed under addition and 

scalar multiplication

subspace 성질은 덧셈과 스칼라 multiplication에 대해 닫혀 있다.

zero vectors in R^n is called 

the zero subspace

zero vector 또한 subspace 3가지 성질을 만족하므로 zero subspace라고 부른다.

 

• Example 1

v1 and v2 are in R^n and H = Span{v1, v2}

0v1 + 0v2 = 0

u = s1v1 +s2v2

v = t1v1 +t2v2

u+v = (s1 +t1)v1 + (s2 +t2)v2

u = s1v1 + s2v2

cu  = c(s1v1 + s2v2) = cs1v1 + cs2v2

 

v1, ... , vp in R^n, Span{v1, ..., vp} is a subspace of R^n

 

• Example2

0을 지나지 않는 linear system은 subspace가 없다.

우선 zero vector가 없다. 원점을 지나지 않으므로.

R^n space에 있는 vector u, v의 합 u +v는 다른 공간에 있다.

scalar multiple 역시 다른 공간에 있다.

 

 

• Column space

The column space of a matrix A is the set Col A of

all linear combinations of the columns of A

A = [a1 ... an]  R^m

Col A = Span {a1, ... , an}

Subspace of R^m

Is b in Col A?

is Ax = b consistent

 

Col A space를 span 한 것이 column space이다

column space 역시 subspace이다.

R^m에 있는 특정 vector가 A의 column space 안에 있느냐는 것은

Ax = b 가 해가 있느냐와 같은 의미이다.

 

• Example3 Is b in Col A?

augumented matrix row reduction

해가 있는지만 보려는 것이므로 echelon form까지만 간다.

pivot position이 A matrix에 있으면 consistent 하다

 

 

• Null space

The null space of a matrix A is the Null A of all

solutions to the homogeneous equation Ax = 0

Is u in Null A?

Is Au =0?

둘은 서로 같은 질문이다.

u라는 vector가 A의 Null space에 있느냐는 Au = 0 이냐 와 같다.

 

- Theorem 11

The null space of an  m x n matrix A is a subspace of R^n.

Equivalently, the set of all solutions to a system Ax = 0

of m homogeneous linear equations in n unknows is in a subspace of R^n

A0 = 0

Au = 0, Av = 0

A(u + v) = Au + Av = 0

Au = 0  Acu = c(Au) = 0

 

null space is defined implicitly

null space는 묵시적이다.

Ax = 0 인지 계산해보기 전까지는 모르기에 묵시적이라는 의미.

column space is defined explicitly

column space는 명시적이다.

굳이 별도의 계산을 진행하지 않아도 식을 봄으로써 알 수 있다.

 

 

• Basis for a Subspace

 

H = Span{u, v}는 R^3의 subspace

임의의 한 점 w

span{u, v, w}도 H이다.

H 평면 안에 있다

Span{u, v, w, ...}

 

평면을 만들려면 무게가 필요하고 평면 위의 두 점은 서로 linearly independent 하여야 한다.

그러므로 Span{u, v}는 서로 linearly independent.

span{u, v, w}, Span{u, v, w, ...}은 dependent 

w 같은 경우 u,v의 조합으로 표현된다. 마찬가지로 u, v이외에 다른 점들은 u, v의 조합으로 표현 가능하므로

dependent하다.

 

A basis for a subspace H of R^n is a linearly independent

set in H that spans H 

basis란 R^n의  subspace H의 linearly independent로 이루어진 set이다

 

 

• Standard Basis for R^n

R^n 그 자체도 R^n의 subspace이다.

subspace의 3가지 성질 역시 만족한다.

 

n x n standard basis

e1, ... , en 은 identity matrix의 column vector들이다.

서로 linearly independent set이다.

{e1, ... , en}을 R^n space의 standard basis라고 부른다.

 

각 각 축의 해당되는 사이즈가 1인 vector들이 R^n space에 대한 standard basis이다

 

• Example 4. Find a basis for the null space of the following matrix

basis는 linearly independent한 것들의 set

linearly independent할려면 trivial solution이 있어야한다

곧, Ax = 0

 

basis인지 확인하기 위해 Ax=0,

[A 0] augumented matrix의 해를 구한다.

row reduction,

x의 해(homogeneous solution)를 free variable에 대해 표현

x의 해(homogeneous solution)를 free variable에 대해 표현

[ A  0] homogeneous equation의  general solution

[A 0] homogeneous equation의 general solution은

u, v, w의 linear combination으로 표현된다.

general solution을 구했을 때

 

free variable로 표현 했으므로 x를 0으로 만드는 free variable들은 0일 수 밖에 없다.

이 상황에서 free variable 들은 linearly independent set이다

이 시스템의 = 0을 풀고자 한다면 

trivial solution만 있다.

그렇기에 linearly independent set이다.

x2u + x4v + x5w

{u,v,w} 가 A matrix의 basis이다.

 

• Example 5. Find a basis for the column space of the following matrix

column space의 basis

column space는 모든 column들을 span한 것

최소한의 횟수만

reduced echelon form

column1,2,5가 pivot column

다른 column 3,4는 pivot column으로 표현된다.

 

reduced echelon form

각 각의 column vector들은 각각의 column vector들의 일부

liearly indepedent set으로 표현

 

{b1, b2, b5} spance Col B

{b1, b2, b5}가 independent set이므로 basis이다

 

• Example 6. Find a basis for the column space of the following matrix

example 6. 는  example 5.의 row reduced 이전 matrix이다.

 

row operation은 pivot position을 바꾸지 않는다.

그 의미는 어떤 column 간의 linear dependence 관계에 영향을 끼치지 않는다.

{a1, a2, a5} spans Col A

A는 원본 matrix이다.

 

Col A != Col B

A, B가 row equivalent 하더라도 column space A, B는 서로 다르다.

단, 모든 row가 pivot position을 가지고 있다면 Col A == Col B일 수 있다.

이런 경우 subspace가 전체의 space이다.

 

 

• Theorem 12.

The pivot columns of a matrix A form a basis for the column space of A

어떤 matrix A의 pivot column들은 column space A의 basis이다.